【题目】设函数,
,
.
(1)若函数有两个零点,试求
的取值范围;
(2)证明.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,判断函数g(x)的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可;(2)设h(x)=(x﹣1)ex﹣ln(x﹣1)﹣x﹣1,其定义域为(1,+∞),只需证明h(x)≥0即可,根据函数的单调性求出h(x)的最小值,从而证出结论.
详解:(1)函数的定义域为
,由已知得
.
①当时,函数
只有一个零点;
②当,因为
, 当
时,
;当
时,
.
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增.又
,
,
因为,所以
,
所以
,
所以,取
,显然
且
所以,
.
由零点存在性定理及函数的单调性知,函数有两个零点.
③当时,由
,得
或
.
当
,则
.当
变化时,
,
变化情况如下表:
0 | |||||
0 | - | 0 | |||
-1 |
注意到,所以函数
至多有一个零点,不符合题意.
当
,则
,
在
单调递增,函数
至多有一个零点,不符合题意.
若
,则
.当
变化时,
,
变化情况如下表:
0 | |||||
0 | - | 0 | |||
-1 |
注意到当,
时,
,
,
所以函数至多有一个零点,不符合题意.
综上,的取值范围是
.
(2)证明:.
设,其定义域为
,则证明
即可.
因为,取
,则
,且
.
又因为,所以函数
在
上单增.
所以有唯一的实根
,且
.
当时,
;当
时,
.所以函数
的最小值为
.
所以.
所以.
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【题目】某地西红柿从2月1号起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本(单位:元/100
)与上市时间
(距2月1日的天数,单位:天)的数据如下表:
时间 | 50 | 110 | 250 |
成本 | 150 | 108 | 150 |
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间
的变化关系:
;
(2)利用(1)中选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数
及最低种植成本.
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【题目】已知函数
(1)求证:
(2)若函数的图象与直线
没有交点,求实数
的取值范围;
(3)若函数,则是否存在实数
,使得
的最小值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知某盒子中共有个小球,编号为
号至
号,其中有
个红球、
个黄球和
个绿球,这些球除颜色和编号外完全相同.
(1)若从盒中一次随机取出个球,求取出的
个球中恰有
个颜色相同的概率;
(2)若从盒中逐一取球,每次取后立即放回,共取次,求恰有
次取到黄球的概率;
(3)若从盒中逐一取球,每次取后不放回,记取完黄球所需次数为,求随机变量
的分布列及数学期望
.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,
求直线l的方程.
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【题目】某市规定,高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据,按时间段(单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
(1)求抽取的20人中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数;
(2)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人,求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率.
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【题目】在直角坐标系xOy中,记函数的图象为曲线C1,函数
的图象为曲线C2.
(Ⅰ)比较f(2)和1的大小,并说明理由;
(Ⅱ)当曲线C1在直线y=1的下方时,求x的取值范围;
(Ⅲ)证明:曲线C1和C2没有交点.
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【题目】某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务.该公司有
辆载重
的
型卡车与
辆载重为
的
型卡车,有
名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为
型卡车
次,
型卡车
次;每辆卡车每天往返的成本费
型为
元,
型为
元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?若只安排
型或
型卡车,所花的成本费分别是多少?
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【题目】在直角坐标系中,曲线C的参数方程为
为参数.在以原点
为极点,为参数).在以原点
为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设,直线
与曲线C交于M,N两点,求
的值.
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