Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．E是AP的中点．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）过点D作DF⊥PC，垂足为F，求证：平面DEF⊥平面PCB．

Answer 1

分析 （1）设AC交BD于O，连接EO，则由中位线定理可得PC∥OE，故而PC∥平面EBD；
（2）先证BC⊥平面PDC得出BC⊥DF，结合DF⊥PC得出DF⊥平面PBC，故而平面DEF⊥平面PCB．

解答 证明：（1）设AC交BD于O，连接EO，
在△PAC中，∵E是PA中点，O是AC中点．
∴EO∥PC．
又PC?平面EBD，EO?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD．
∴PD⊥BC．
又BC⊥DC，DC∩PD=D，PD?平面PDC，DC?平面PDC，
∴BC⊥平面PDC．又DF?平面PDC，
∴BC⊥DF．
又DF⊥PC，BC∩PC=C，BC?平面PCB，PC?平面PCB，
∴DF⊥平面PCB，
∵DF?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面PCB．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的判定，属于基础题．