Question

（本小题满分12分）

已知定义域为的函数满足：①时，；②③对任意的正实数，都

有．

（1）求证：；

（2）求证：在定义域内为减函数；

（3）求不等式的解集．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3） .

【解析】

试题分析：

（1）令，即可求得，令，即可证得

（2）利用单调性的定义即可证明；

（3）根据（2）可求得，从而可得，再利用在定义域内为减函数，即可求得其解集.

试题解析：

（1）因为对任意，都有，

所以令，则，即

再令，则，所以，即；

（2）设，且，则，所以

又

所以，即，

所以在上是减函数；

（3）由，得，又，所以

所以不等式为，

即，亦即

因为是上的减函数，

所以，解得，

所以不等式的解集为.

考点：抽象函数及其应用；函数单调性的证明及性质.