已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断.若存在常数 .使得对任意的实数x成立.则称f(x)是回旋函数．给出下列四个命题:①若f(x)为非零的常值函数.则其为回旋函数的充要条件是t= -1;②若为回旋函数.则t>l;③函数不是回旋函数,④若f(x)是t=1的回旋函数.则f(x)在[0,2015]上至少有2015个零点．其中为真命题的是 � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数，

使得对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．

给出下列四个命题：

①若f（x）为非零的常值函数，则其为回旋函数的充要条件是t= -1;

②若为回旋函数，则t>l;

③函数不是回旋函数；

④若f（x）是t=1的回旋函数，则f（x）在[0,2015]上至少有2015个零点．

其中为真命题的是_________（写出所有真命题的序号）．

①③④

【解析】

试题分析：①利用回旋函数的定义即可．②若指数函数为阶数为t回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论．③利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有，故可判断；．④由定义得到f（x+1）=-f（x），由零点存在定理得，在区间（x，x+1）上必有一个零点令，即可得到．

对于①函数f（x）=2为回旋函数，则由f（x+t）+tf（x）=0，得2+2t=0，∴t=-1，故结论正确；对于②，若指数函数为阶数为t回旋函数，则，∴结论不成立；对于③若对任意实数都成立，令x=0，则必须有a=0，令x=1，则有，显然a=0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论正确，对于④：若若f（x）是t=1的回旋函数，则f（x+1）+f（x）=0对任意的实数x都成立，即有f（x+1）=-f（x），则f（x+1）与f（x）异号，由零点存在定理得，在区间（x，x+1）上必有一个零点，可令，则函数f（x）在[0，1]上至少存在2015个零点．故结论正确故答案为：①③④．

考点：函数性质的应用

考点分析： 考点1：函数的表示法 试题属性

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