Question

5．有7名同学站成一排，问：
（1）甲同学不能站在正中间，有多少种排法？
（2）甲、乙两名同学不站在两端，有多少种排法？
（3）甲、乙两名同学不能相邻，有多少种排法？
（4）甲同学必须站在乙同学的左边（不一定相邻），有多少种排法？
（注：本题需必要的解题过程，且最后结果要用数字作答）

Answer 1

分析 （1）甲同学不能站在正中间，因而先排甲同学，然后再排其余六名同学，问题得以解决．
（2）甲、乙两名同学不站在两端，因而先排甲、乙两同学，然后再排其余五名同学，问题得以解决．
（3）甲、乙两名同学不能相邻，因而先排除甲、乙两名同学外的其余五名同学，然后再从六个空里选两个空插入甲、乙两名同学，问题得以解决．
（4）定序法，甲乙的顺序只有两种，7名同学站成一排，排法数为$A_7^7$，问题得以解决．

解答 解：（1）甲同学不能站在正中间，因而先排甲同学，然后再排其余六名同学，满足条件的排法数为$A_6^1A_6^6=4320$ 种；
（2）甲、乙两名同学不站在两端，因而先排甲、乙两同学，然后再排其余五名同学，满足条件的排法数为$A_5^2A_5^5=2400$ 种；
（3）甲、乙两名同学不能相邻，因而先排除甲、乙两名同学外的其余五名同学，然后再从六个空里选两个空插入甲、乙两名同学，满足条件的排法数为$A_5^5A_6^2=3600$ 种；
（4）甲同学必须站在乙同学的左边（不一定相邻），7 名同学站成一排，排法数为$A_7^7$，其中甲同学站在乙同学的左边和乙同学站在甲同学的左边（不一定相邻）的情况一一对应，
各占其半，故满足条件的排法总数为$\frac{A_7^7}{2}$=2520种．

点评 本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，定序法，属于中档题．