Question

16．已知向量$\vec a=（{\sqrt{3}sinx，1}）$，$\vec b=（{cosx，{{sin}^2}x}）$，函数$f（x）=\vec a•\vec b-\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）已知$f（{\frac{α}{2}}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$f（{\frac{β}{2}}）=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，$β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，求cos（α-β）．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的定义求出函数f（x）的表达式，即可求函数f（x）的最小正周期T；
（2）根据两角和差的余弦公式进行求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
故函数f（x）的最小正周期T=π．
（2）由$f（\frac{α}{2}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$f（\frac{β}{2}）=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
得：$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$sin（β-\frac{π}{6}）=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
又$α∈（0，\frac{π}{2}）$，$β∈（0，\frac{π}{2}）$
∴$α-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$，$β-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$
∴$cos（α-\frac{π}{6}）=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$cos（β-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
∴$cos（α-β）=cos[（α-\frac{π}{6}）-（β-\frac{π}{6}）]$
$\begin{array}{l}=cos（α-\frac{π}{6}）cos（β-\frac{π}{6}）+sin（α-\frac{π}{6}）sin（β-\frac{π}{6}）\\=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}+\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}\end{array}$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数周期的计算，以及三角函数值的化简和求解，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键．