Question

4．为了解某高三模拟考试学生数学学习情况，从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本，并分而5组，绘成如图所示的频率分布直方图，若第二组至第五组数据的频率分别为0.1，0.4，0.3，0.15，第一组数据的频数是2．
（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩低于95分的概率，并求出样本容量．
（Ⅱ）从样本中成绩在65分到95分之间的学生中任选两人，求至少有一人成绩在65分到80分之间的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图的性质可得；
（Ⅱ）易得样本中成绩在65分到80分之间的学生有2人，记为x、y，成绩在80分到95分之间的学生有4人，记为a、b、c、d，列举可得总的情形共15种，满足题意的有9种，由概率公式可得．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得样本中数学成绩低于95分的频率为1-（0.4+0.3+0.15）=0.15，
∴校高三学生质检数学成绩低于95分的概率为0.15，
又∵样本中第一组数据的频率为1-（0.1+0.4+0.3+0.15）=0.05，
∴样本容量为2÷0.05=40；
（Ⅱ）样本中成绩在65分到80分之间的学生有2人，记为x、y，
成绩在80分到95分之间的学生有40×0.1=4人，记为a、b、c、d，
从上述6人中选2人的所有情形有：（x，y），（x，a），（x，b），
（x，c），（x，d），（y，a），（y，b），（y，c），（y，d），
（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共15种，
其中满足至少有一人成绩在65分到80分之间的有：（x，y），（x，a），（x，b），
（x，c），（x，d），（y，a），（y，b），（y，c），（y，d）共9种，
∴至少有一人成绩在65分到80分之间的概率为$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查古典概型及其概率公式，涉及频率分布直方图和列举法计算基本事件数，属基础题．