Question

14．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中，只有第六项的二项式系数最大．
（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数；
（Ⅱ）求该展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知$\frac{n}{2}+1=6$，可得n=10，只需令该展开式中x的系数为整数可得；
（Ⅱ）设第T_r+1项的系数最大，可得关于r的不等式组，解不等式组可得r的范围，可得系数最大的项．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知$\frac{n}{2}+1=6$，解得n=10，
∴${T_{r+1}}=C_{10}^r{x^{\frac{10-r}{2}}}{2^r}{x^{-2r}}=C_{10}^r{2^r}{x^{\frac{10-5r}{2}}}$，（0≤r≤10，且r∈N），
要求该展开式中的有理项，只需令$\frac{10-5r}{2}∈Z$，
∴r=0，2，4，6，8，10，∴有理项的项数为6项；
（Ⅱ）设第T_r+1项的系数最大，
则$\left\{\begin{array}{l}C_{10}^r{2^r}≥C_{10}^{r-1}{2^{r-1}}\\ C_{10}^r{2^r}≥C_{10}^{r+1}{2^{r+1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{r}≥\frac{1}{11-r}\\ \frac{1}{10-r}≥\frac{2}{r+1}\end{array}\right.$，
解不等式可得$\frac{19}{3}≤r≤\frac{22}{3}$，
∵r∈N，∴r=7，
∴展开式中的系数最大的项为${T_8}=C_{10}^7{2^7}{x^{\frac{-25}{2}}}=15360{x^{\frac{-25}{2}}}$

点评 本题考查二项式系数的性质，涉及不等式的解法和组合数公式，属基础题．