Question

8．设数列{a_n} 的前n项和为S_n，已知4S_n=2a_n-n²+7n（n∈N^*），则a₁₁=-2．

Answer 1

分析 由4S_n=2a_n-n²+7n（n∈N^*）⇒4S_n-1=2a_n-1-（n-1）²+7（n-1），n≥2，两式相减可得a_n+a_n-1=4-n（n≥2），进一步整理可得数列{a_n} 的奇数项是以3为首项，-1为公差的等差数列，从而可得答案．

解答 解：∵4S_n=2a_n-n²+7n（n∈N^*），①
∴4S_n-1=2a_n-1-（n-1）²+7（n-1）（n≥2，n∈N^*），②
①-②得：4a_n=2a_n-2a_n-1-2n+8，
∴a_n+a_n-1=4-n（n≥2），③
a_n+1+a_n=4-（n+1），④
④-③得：a_n+1-a_n-1=-1．
又4a₁=2a₁-1²+7，∴a₁=3．
∴数列{a_n} 的奇数项是以3为首项，-1为公差的等差数列，
∴a₁₁=3+（6-1）×（-1）=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查数列递推式的应用，通过递推关系式的综合运用，求得数列{a_n} 的奇数项是以3为首项，-1为公差的等差数列是顺利解决问题的关键，考查推理与运算能力，属于难题．