Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁B₁；
（3）求CP与平面BDD₁B₁所成的角大小．

Answer 1

解：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD₁，BD的中点，故PO∥BD₁，
∵PO?平面PAC，BD₁?平面PAC，所以，直线BD₁∥平面PAC．
（2）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD₁⊥面ABCD，则DD₁⊥AC．
∵BD?平面BDD₁B₁，D₁D?平面BDD₁B₁，BD∩D₁D=D，∴AC⊥面BDD₁B₁．∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD₁B₁ ．
（3）由（2）已证：AC⊥面BDD₁B₁，∴CP在平面BDD₁B₁内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD₁B₁所成的角．
依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30°
∴CP与平面BDD₁B₁所成的角为30°．
分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD₁，从而证明直线BD₁∥平面PAC．
（2）证明AC⊥BD，DD₁⊥AC，可证AC⊥面BDD₁B₁，进而证得平面PAC⊥平面BDD₁B₁ ．
（3）CP在平面BDD₁B₁内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD₁B₁所成的角，在Rt△CPO中，利用边角关系求得∠CPO的大小．
点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题．