Question

9．已知函数f（x）=|3^x-1|，a∈[$\frac{1}{3}，1）$，若函数u（x）=f（x）-a有两个不同的零点x₁、x₂（x₁＜x₂），υ（x）=f（x）$-\frac{a}{2a+1}$有两个不同的零点x₃、x₄（x₃＜x₄），则（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 分别求出x₁，x₂，x₃，x₄，结合对数的运算性质和对数函数的图象和性质，可得x₂-x₁+x₄-x₃的最小值．

解答 解：∵u（x）=|3^x-1|-a=0，
∴3^x=1±a，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=log₃（1-a），x₂=log₃（1+a），
∵υ（x）=|3x-1|-$\frac{a}{2a+1}$=0，
∴3^x=1±$\frac{a}{2a+1}$，
∵x₃＜x₄，
∴x₃=log₃（1-$\frac{a}{2a+1}$），x₄=log₃（1+$\frac{a}{2a+1}$），
∴x₂-x₁+x₄-x₃=log₃ $\frac{（1+a）（1+\frac{a}{2a+1}）}{（1-a）（1-\frac{a}{2a+1}）}$=log₃$\frac{1+3a}{1-a}$=log₃（ $\frac{4}{1-a}$-3），
∵y=log₃（$\frac{4}{1-a}$-3）在a∈[$\frac{1}{3}$，1）上单调递增，
所以当a=$\frac{1}{3}$时，x₂-x₁+x₄-x₃的最小值为1，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数零点，指数方程和对数方程的解法，对数的运算性质和对数函数的图象和性质，难度中档．