Question

6．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{bx}$（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y=0．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）-kx＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：当n∈N^*，且n≥2时，$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+$\frac{1}{4ln4}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞$\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{b{x}^{2}}$=$\frac{abx-1}{b{x}^{2}}$，f′（1）=a-$\frac{1}{b}$，f（1）=$\frac{1}{b}$．由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y=0．
可得a-$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$，1-2×$\frac{1}{b}$=0，解得a，b．
（2）f（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$．当x＞1时，f（x）-kx＜0恒成立，lnx+$\frac{1}{2x}$-kx＜0，化为：k$＞\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=g（x）．利用导数研究函数g（x）的单调性极值与最值即可得出．
（3）由（2）可知：x＞1时，$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$，化为$\frac{1}{xlnx}＞\frac{2}{{x}^{2}-1}$，令x=n≥2，则$\frac{1}{nlnn}$＞$\frac{2}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$．利用“累加求和”方法与“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{b{x}^{2}}$=$\frac{abx-1}{b{x}^{2}}$，f′（1）=a-$\frac{1}{b}$，f（1）=$\frac{1}{b}$．
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y=0．
∴a-$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$，1-2×$\frac{1}{b}$=0，解得b=2，a=1．
（2）解：f（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$．
当x＞1时，f（x）-kx＜0恒成立，
∴lnx+$\frac{1}{2x}$-kx＜0，化为：k$＞\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=g（x）．
g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{x-xlnx-1}{{x}^{3}}$．
令h（x）=x-xlnx-1，（x＞1）．
h′（x）=1-lnx-1=-lnx＜0，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴g′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递减．
∴k≥g（1）=$\frac{1}{2}$．
（3）证明：由（2）可知：x＞1时，$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$，化为$\frac{1}{xlnx}＞\frac{2}{{x}^{2}-1}$，
令x=n≥2，则$\frac{1}{nlnn}$＞$\frac{2}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$．
∴当n∈N^*，且n≥2时，$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+$\frac{1}{4ln4}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$）=$\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的极值切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．