Question

给出以下五个结论：
①存在实数α，使sinα•cosα=1；     
②函数f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)是奇函数；
③α是第二象限角时，tanα=-

sinα

cosα

；  
④函数f（x）=

1

x

-x的递减区间为（-∞，+∞）
⑤函数f(x)=

x

x+1

的对称中心是（-1，1）
其中正确的结论是：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：必须对选项一一加以判断：对①运用二倍角公式；对②运用诱导公式；对③应用同角三角函数的公式；
对④运用导数求；对⑤运用图象变换，由反比例函数图象平移可得．

解答： 解：①因为sinα•cosα=

1

2

sin2α∈[-

1

2

，

1

2

]，所以不存在实数α，使sinα•cosα=1，故①错；
②因为函数f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)即f（x）=-cosx，所以函数f（x）是偶函数，故②错；
③当α是第二象限角时，tanα=

sinα

cosα

恒成立，故③错；
④因为函数f（x）=

1

x

-x的导数f'（x）=-

1

x2

-1＜0，所以f（x）在（-∞，0），（0，+∞）
上均为减函数，故④错；
⑤因为函数f(x)=

x

x+1

即f（x）=1-

1

x+1

，所以f（x）的图象可由y=

-1

x

的图象先向左平移一个单位，
再向上平移一个单位得到，且y=

-1

x

的图象关于原点对称，所以f（x）的图象关于点（-1，1）对称，
故⑤对．
故答案为：⑤

点评：本题主要考查了函数的两个重要性质--奇偶性和单调性，以及图象平移，解题时要注意不能随意把两个单调区间合并，本题是一道易错题，属于一道基础题．