Question

函数y=x³-x+1图象上任一点的切线的倾角的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的倾斜角

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．

解答： 解：由y=x³-x+1，得
y′=3x²-1，
设函数y=x³-x+1图象上任一点P（x₀，y₀），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），
则y′|x=x0=3x02-1，
∵3x02-1≥-1，
∴tanα≥-1，
∴0≤α＜

π

2

或

3π

4

≤α＜π．
∴函数y=x³-x+1图象上任一点的切线的倾角的取值范围是[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）．
故答案为：[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）．

点评：本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正切函数的单调性，是中档题．