Question

若数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等差数列．
（1）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为，求的值；
（2）若为常数），且是级等差数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列的前3项和；
（3）若既是级等差数列，也是级等差数列，证明：是等差数列．

Answer 1

（1）19，（2），（3）详见解析.

试题分析：（1）解新定义数列问题，关键从定义出发，建立等量关系.，（2）本题化简是关键.因为是级等差比数列，所以，

，所以， 或
，最小正值等于，此时
，（3）充分性就是验证，易证，关键在于证必要性，可从两者中在交集（共同元素）出发. ,成等差数列, 因此既是中的项，也是中的项，既是中的项，也是中的项，可得它们公差的关系，进而推出三者结构统一，得出等差数列的结论.
（1）   （2分）

   （4分）
（2）是级等差数列，
（） （1分）（）
所以， 或
对恒成立时，
时，
   （3分）
最小正值等于，此时
由于（）
（）   （5分）

（）   （6分）
（3）若为级等差数列，，则均成等差数列，（1分）
设等差数列的公差分别为
为级等差数列，，则成等差数列，设公差为
既是中的项，也是中的项，   （3分）
既是中的项，也是中的项，
   （5分）
设，则
所以（），
，（）
又，，所以，   （7分）
（）
综合得：，显然为等差数列。   （8分）