Question

4．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$在同一平面内，且$\overrightarrow a=（-1，2）$．
（1）若$\overrightarrow c=（m-1，3m）$，且$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$，求m的值；
（2）若|$\overrightarrow a-\overrightarrow b|=3$，且$（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，求向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow b$的夹角．

Answer 1

分析 （1）由平面向量的共线定理列方程解出m；
（2）分别由两条件列出关于${\overrightarrow{b}}^{2}$和$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的方程，解出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$和${\overrightarrow{b}}^{2}$，代入向量的夹角公式计算．

解答 解：（1）由$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$，得：2（m-1）+3m=0，解得$m=\frac{2}{5}$．
（2）因为$\overrightarrow a=（-1，2）$，所以$|\overrightarrow a|=\sqrt{5}$，
由$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）⊥（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}）$，得：$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）•（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}）=0$，
∴2${\overrightarrow{a}}^{2}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即10-2${\overrightarrow{b}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
由$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=3$，得${\overrightarrow a^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=9$，即$-2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=4$，
解之得，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，${\overrightarrow b^2}=8$．
设$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow b$的夹角为θ．
则$cosθ=\frac{（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a-\overrightarrow b||\overrightarrow b|}=\frac{{\overrightarrow a•\overrightarrow b-{{\overrightarrow b}^2}}}{{3×2\sqrt{2}}}=\frac{2-8}{{3×2\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又θ∈[0，π]，所以$θ=\frac{3π}{4}$．
即$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．