Question

20．求适合下列条件的曲线方程．
（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）的椭圆标准方程；
（2）顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设焦点在y轴上的椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0），由焦距是4，且经过点M（3，2），利用椭圆的性质能求出椭圆的标准方程．
（2）由抛物线的标准方程对应的图形，得p=8，由此能求出抛物线的标准方程．

解答 解：（1）设焦点在y轴上的椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵焦距是4，且经过点M（3，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{\frac{9}{{b}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=16，b²=12，或a²=1，b²=-3（舍），
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
（2）∵顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4，
由抛物线的标准方程对应的图形，得：顶点到准线距离为$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{p}{2}=4$，解得p=8，
∴抛物线的标准方程为y²=±16x或x²=±16y．

点评 本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线性质的合理运用．