Question

5．已知函数y=x³-2x²+x+3，x∈[-1，2]，求此函数的
（1）单调区间；
（2）值域．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，得到导函数的零点，列出x，f′（x），f（x）的关系表，可得函数单调区间；
（2）比较极值与端点值可得函数的值域．

解答 解：（1）由y=x³-2x²+x+3，得y′=3x²-4x+1，
由y′=3x²-4x+1=0，得${x}_{1}=\frac{1}{3}$，x₂=1．
x，f′（x），f（x）的关系列表如下：

x	-1	（-1，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-1	↑	$\frac{85}{27}$	↓	3	↑	5

由表可知，函数的增区间为：$（{-1，\frac{1}{3}}）$，（1，2）；减区间为$（{\frac{1}{3}，1}）$；
（2）函数在区间[-1，2]上的值域为：[-1，5]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．