Question

已知函数f（x）=2ax²+bx-3a+1，当x∈[-4，4]时，f（x）≥0恒成立，则5a+b的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，f（0）≥0成立，所以a≤

1

3

，再分类讨论，利用线性规划知识求解，即可求出5a+b的最小值．

解答： 解：由题意，f（0）≥0成立，所以a≤

1

3

．
①0＜a≤

1

3

时，则问题等价于

- b 4a ≤-4 f(-4)≥0

（1）或

- b 4a ≥4 f(4)≥0

（2）或（3）f(-

b

4a

)≥0
（1）

16a-b≤0 29a-4b+1≥0

，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点o（0，0）时，取得最小值0；

（2）

16a+b≤0 29a+4b+1≥0

对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点A（

1

35

，-

16

35

）时，取得最小值-

11

35

（3）24a²-8a+b²≤0，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点B（

1

21

，-

12

21

）时，取得最小值-

1

3

；

a≤0时，问题等价于

f(-4)≥0 f(4)≥0

，

29a-4b+1≥0 29a+4b+1≥0

，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点C（0，-

1

4

）时，取得最小值-

1

4

，

综上，a=

1

21

，b=-

12

21

时，取得最小值-

1

3

．
故答案为：-

1

3

．

点评：本题考查恒成立，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．