Question

17．在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=7，S_△ABC=6$\sqrt{6}$，O是△ABC的内心，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积是（　　）

• A． $\frac{{10\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{5\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． $\frac{20}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知动点P的轨迹为以OA，OB为邻边的平行四边形ADBO的内部（含边界）．根据三角形的面积公式即可求得△ABC内切圆半径为r，求得△AOB的面积，

解答 解：$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中0≤x≤1，0≤y≤1，
∴动点P的轨迹为以OA，OB为邻边的平行四边形ADBO的内部（含边界）．
AB=5，AC=6，BC=7，S_△ABC=6$\sqrt{6}$，
设△ABC内切圆半径为r，则$\frac{1}{2}$（5+6+7）r=6$\sqrt{6}$，
∴r=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×AB×r=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，
∴动点P的轨迹所覆盖的面积为：2S_△AOB=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$，
故选A．

点评 本题考查三角形的面积公式，向量在几何中的应用，考查计算能力，属于中档题．