Question

11．如图所示，已知圆C的圆心为C（0，1），AB为圆C上非直径的弦，E、F分别在线段AB、BC上，EF∥AC，且CF+EF=1．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若原点O（0，0）到直线AB的距离为1，试判断|OA|•|OB|的值是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可得∠BEF=∠EBF，EF=FB，即CB=CF+EF=1，得圆C：x²+（y-1）²=1．
 （2）当切线l垂直y轴时，|OA|•|OB|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，当切线l不垂直y轴时，设其方程为x=ky+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由原点O（0，0）到直线AB的距离为1，得b²=1+k²．由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+b}\\{{x}^{2}+（y-1）^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+k²）y²+（2kb-2）y+b²=0，y₁y₂=$\frac{{b}^{2}}{1+{k}^{2}}$=1，|OA|•|OB|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$×$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{{y}_{1}•{y}_{2}}$=2，即可得|OA|•|OB|的值是否为定值2，

解答 解：（1）∵CA=CB，EF∥AC，∴∠BEF=∠EBF∴EF=FB，
∴CB=CF+EF=1，
得圆C：x²+（y-1）²=1；
 （2）当切线l垂直y轴时，其方程为y=1，此时A（1，1），B（-1，1），
|OA|•|OB|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
当切线l不垂直y轴时，设其方程为x=ky+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵原点O（0，0）到直线AB的距离为1，∴$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，即b²=1+k²．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+b}\\{{x}^{2}+（y-1）^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+k²）y²+（2kb-2）y+b²=0，
∴y₁y₂=$\frac{{b}^{2}}{1+{k}^{2}}$=1．
∵x₁²+（y₁-1）²=1，x₂²+（y₂-1）²=1．
∴|OA|•|OB|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$×$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{{y}_{1}•{y}_{2}}$=2．
综上，|OA|•|OB|的值是否为定值2．

点评 本题考查了圆的方程，圆与圆的位置关系，圆的切线，及直线与圆的位置关系，属于中档题．