Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinb，且$B＞\frac{π}{2}$，则sinA+sinC的最大值是$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简得出A，B的关系，用A表示出C，利用三角函数恒等变换化简得出sinA+sinC关于sinA的函数，求出此函数的最大值即可．

解答 解：∵acosA=bsinA，∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{cosA}$，
又由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$-A），
∵B＞$\frac{π}{2}$，
∴π-B=$\frac{π}{2}$-A．
∴B=A+$\frac{π}{2}$．
∴C=π-A-B=$\frac{π}{2}$-2A．
∴sinA+sinC=sinA+cos2A=-2sin²A+sinA+1=-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$．
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜$\frac{π}{2}$-2A＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜A＜$\frac{π}{4}$，
∴0＜sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴当sinA=$\frac{1}{4}$时，sinA+sinC取得最大值$\frac{9}{8}$．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，二次函数的最值，属于中档题．