Question

18．已知双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$两个焦点为分别为${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$，过点F₂的直线l与该双曲线的右支交于M、N两点，且△F₁MN是等边三角形，则以点F₂为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程为（　　）

• A． ${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=2$
• B． ${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=4$
• C． ${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=1$
• D． ${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 根据题中所给条件可知M，N关于x轴对称，|NF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，根据△MNF₁为正三角形，可得$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$+4c²=$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}}$，由此可以求出a，即可求出以点F₂为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程．

解答 解：由题意可知，M，N关于x轴对称，则|NF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵|F₁F₂|=2c，
∴|NF₁|²=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}+4{c}^{2}$=|MN|²=$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$+4c²=$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}}$
∴4a²c²=3b⁴
∴4a²c²=3（a²-c²）²，
∵c=$\sqrt{3}$，
∴a=1或3（舍去），
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，
∴焦点F₂到渐近线的距离为$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$，
∴以点F₂为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程为$（x-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}$=2，
故选：A．

点评 本题以双曲线为载体，考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，关键是找出几何量之间的关系，求出a．