Question

2．已知集合A={x|-2＜x＜5}，集合$B=\left\{{x\left|{2＜{{（{\frac{1}{2}}）}^x}＜16}\right.}\right\}$，集合C={x|m+1≤x≤2m-1}，
（1）求A∩B，A∪B；
（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B，A∪B；
（2）根据A∪C=A，建立条件关系即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）集合A={x|-2＜x＜5}，集合$B=\left\{{x\left|{2＜{{（{\frac{1}{2}}）}^x}＜16}\right.}\right\}$={x|2＜2^-x＜2⁴}={x|-4＜x＜-1}
∴A∩B={x|-2＜x＜-1}，
A∪B={x|-4＜x＜5}．
（2）集合C={x|m+1≤x≤2m-1}，
∵A∪C=A，
∴C⊆A，
当C=∅时，满足题意，此时m+1＞2m-1，解得：m＜2．
当C≠∅时，要使C⊆A成立，需满足$\left\{\begin{array}{l}{-2≤m+1}\\{m+1≤2m-1}\\{2m-1≤5}\end{array}\right.$，
解得：2≤m≤3
综上可得实数m的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．