【题目】知向量,,函数,若的图象上相邻两条对称轴的距离为,且图象过点.
(1)求表达式和的单调增区间;
(2)将函数的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若函数在区间上有且只有一个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1),的单调增区间为,;(2)或.
【解析】
(1)由题意,求得,进而求得,,即可得到函数的解析式,求得其单调递增区间;
(2)根据三角函数的图象变换,得到函数,进而求得函数在区间上的值域为,要使得函数在区间上有且只有一个零点,只需函数的图象和直线有且只有一个交点,即可求得结论.
(1)∵,
∴,
∴函数的最小正周期为,
∴,
∵的图象过点,
∴.
∴,
∴.
由,,
得,,
∴函数的单调增区间为,.
(2)将函数的图象向右平移个单位,可得函数
的图象;再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.
∵,
∴,
∴,
∴函数在区间上的值域为,
∵函数在区间上有且只有一个零点,
∴函数的图象和直线有且只有一个公共点,
根据图象可知,或.
∴实数的取值范围为.
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【题目】已知圆和点.
(1)过点向圆引切线,求切线的方程;
(2)求以点为圆心,且被直线截得的弦长为8的圆的方程;
(3)设为(2)中圆上任意一点,过点向圆引切线,切点为,试探究:平面内是否存在一定点,使得为定值?若存在,请求出定点的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力,某移动支付公司在我市随机抽取了100名移动支付用户进行调查,得到如下数据:
每周移动支付次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
(1)在每周使用移动支付超过3次的样本中,按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户.
①求抽取的5名用户中男、女用户各多少人;
②从这5名用户中随机抽取2名用户,求抽取的2名用户中既有男用户又有女用户的概率.
(2)如果认为每周使用移动支付次数超过3次的用户“喜欢使用移动支付”,能否在犯错误概率不超过的前提下,认为“喜欢使用移动支付”与性别有关?
附表及公式:
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【题目】在直角坐标系中,椭圆关于坐标轴对称,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系, , 为椭圆上两点.
(1)求直线的直角坐标方程与椭圆的参数方程;
(2)若点在椭圆上,且点在第一象限内,求四边形面积的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, , 和均为等边三角形,且平面平面,点为的中点.
(1)求证: 平面;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】在某中学举行的物理知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成5组,绘制出如图所示的须率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组.已知第三小组的频数是15.
(1)求成绩在50-70分的频率是多少
(2)求这三个年级参赛学生的总人数是多少:
(3)求成绩在80-100分的学生人数是多少
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【题目】函数的一段图象如图所示.
(1)求的解析式;
(2)求的单调减区间,并指出的最大值及取到最大值时的集合;
(3)把的图象向右至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
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