【题目】设是定义在R上的函数,对任意的
,恒有
,且当
时,
.
(1)求的值;
(2)求证:对任意,恒有
.
(3)求证:在R上是减函数.
【答案】(1);
(2)证明见解析;
(3)证明见解析;
【解析】
(1)应用取特殊值法.令,根据当
时,
,可以求出
的值;
(2)当时,应用
,再根据当
时,
,可以证明此时
,再结合(1)的结论,可以证明对任意
,恒有
.
(3)运用定义法证明在R上是减函数.在证明过程中结合(2)中的结论
,和已知当
时,
,这一条件.
(1) 令,有
,当
时,
,所以有
,于是有
;
(2)当时,有
,因为
,所以
,已知当
时,
,所以
,由(1)可知
,所以有
;
已知当时,
;
由(1)可知,故对任意
,恒有
;
(3)设且
,所以有
,而已知当
时,
,因此有
,而
,由(2)的证明过程可知:
,
于是由可得
,所以有
,根据(2)的性质可知:
,所以有
,因此
在R上是减函数.
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【题目】下列说法中错误的个数是( )
①从某社区65户高收入家庭,280户中等收入家庭,105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标,应采用的最佳抽样方法是分层抽样
②线性回归直线一定过样本中心点
③对于一组数据,如果将它们改变为
,则平均数与方差均发生变化
④若一组数据1、、2、3的众数是2,则这组数据的中位数是2
⑤用系统抽样方法从编号为1,2,3,…,700的学生中抽样50人,若第2段中编号为20的学生被抽中,按照等间隔抽取的方法,则第5段中被抽中的学生编号为76
A.0B.1C.2D.3
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【题目】知向量,
,函数
,若
的图象上相邻两条对称轴的距离为
,且图象过点
.
(1)求表达式和
的单调增区间;
(2)将函数的图象向右平移
个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数
的图象,若函数
在区间
上有且只有一个零点,求实数
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆交
轴于点
,交
轴于点
.以
为顶点,
分别为左、右焦点的椭圆
,恰好经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设经过点的直线
与椭圆
交于
两点,求
面积的最大值.
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【题目】如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明:AE⊥平面PCD;
(2)求二面角A-PD-C的正弦值.
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