Question

设函数f（x）=|lg（x+1）|，满足f（a）=f（-

b+1

b+2

），f[10（a+1）+6（b+2）-1]=4lg2，其中a，b∈R，且a＜b，则a+b的值为（　　）

• A、0
• B、

  1

  15

• C、-

  11

  15

• D、-1

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：由f（a）=f（-

b+1

b+2

），代入函数解析式得到a、b的关系，化简f[10（a+1）+6（b+2）-1]=4lg2，求出一个字母的值，从而求出另一个字母的值．

解答： 解：∵f（x）=|lg（x+1）|，且f（a）=f（-

b+1

b+2

），
∴|lg（a+1）|=|lg（-

b+1

b+2

+1）|=|lg

1

b+2

|=|lg（b+2）|，
∴a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1；
又∵a＜b，∴a+1≠b+2，
∴（a+1）（b+2）=1；
又∵f（a）=|lg（a+1）|有意义，
∴a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，
∴0＜a+1＜1＜b+2；
∴10（a+1）+6（b+2）-1=

10

b+2

+6（b+2）-1≥2

10 b+2 •6(b+2)

-1=2

60

-1＞1；
∴f[10（a+1）+6（b+2）-1]=lg[10（a+1）+6（b+2）]=4lg2，
即lg[

10

b+2

+6（b+2）]=lg2⁴，
∴

10

b+2

+6（b+2）=16；
解得b+2=

5

3

，或b+2=1（舍去），
∴b=-

1

3

；
又a+1=

1

b+2

=

3

5

，
∴a=-

2

5

，
∴a+b=-

11

15

．
故选：C．

点评：本题考查了对数的运算性质的问题以及数学替换思想，解题的关键是根据题意找出a和b的关系，把一个字母用另一个字母代替，是易错题．