Question

6．设不等式|3x-$\frac{1}{2}$|+x$＜\frac{3}{2}$的解集为M，a，b∈M．
（1）证明：|$\frac{1}{3}$a$+\frac{1}{6}$b|$＜\frac{1}{4}$；
（2）比较|1-4ab|与2|a-b|的大小．

Answer 1

分析 （1）求出不等式的解集M，根据a，b的范围，证明即可；（2）通过作差比较大小即可．

解答 （1）证明：解不等式的集合M={x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，
∵a，b∈M，∴a，b∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
所以-$\frac{1}{6}$＜$\frac{1}{3}$a＜$\frac{1}{6}$，-$\frac{1}{12}$＜$\frac{1}{6}$b＜$\frac{1}{12}$，
两式相加得-$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{6}$b＜$\frac{1}{4}$，即|$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{6}$b|＜$\frac{1}{4}$．
（2）解：∵（1-4ab）²-4（a-b）²
=1-8ab+16a²b²-4a²+8ab-4b²
=（1-4a²）（1-4b²），
∵a，b∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴0＜a²＜$\frac{1}{4}$，0＜b²＜$\frac{1}{4}$，
∴1-4a²＞0，1-4b²＞0，
∴（1-4a²）（1-4b²）＞0，
∴|1-4ab|＞2|a-b|．

点评 本题考查了解不等式不等式问题，考查转化思想，是一道中档题．