Question

已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解　(1)证法1：∵函数f(x)对于任意x，

y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，

∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.

再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．

在R上任取x₁>x₂，则x₁－x₂>0，

f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁)＋f(－x₂)＝f(x₁－x₂)．

又∵x>0时，f(x)<0，而x₁－x₂>0，∴f(x₁－x₂)<0，

即f(x₁)<f(x₂)．

因此f(x)在R上是减函数．

证法2：在R上任取x₁>x₂，

则f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁－x₂＋x₂)－f(x₂)

＝f(x₁－x₂)＋f(x₂)－f(x₂)＝f(x₁－x₂)．

∵x>0时，f(x)<0，而x₁－x₂>0，∴f(x₁－x₂)<0，

即f(x₁)<f(x₂)，

∴f(x)在R上为减函数．

(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．

而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.