Question

已知函数f（x）=

3

cosωx，g（x）=sin（ωx-

π

3

）ω＞0），且g（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）若f（a）=

6

2

，a∈[-π，π]，求a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）+g（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据g（x）的最小正周期为π，可以求得ω的值，从而得到f（x）的解析式，利用f（a）=

6

2

可以求得α的取值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）+g（x）运用两角和差公式进行化简变形，从而得到 y=sin（2x+

π

3

），将2x+

π

3

看作一个整体，运用正弦函数的单调性，即可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）解：因为g（x）=sin（ωx-

π

3

）的最小正周期π，
∴

2π

|ω|

=π，解得ω=2，
由f（α）=

6

2

，得

3

cos2α=

6

2

，
即cos2α=

2

2

，
∴2α=2kπ±

π

4

，k∈Z，
∵α∈[-π，π]，
∴α∈{-

7π

8

，-

π

8

，

π

8

，

7π

8

}；
（Ⅱ）函数 y=f（x）+g（x）=

3

cos2x+sin(2x-

π

3

)
=

3

cos2x+sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin（2x+

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
所以函数y=f（x）+g（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．

点评：本题考查了三角恒等变换，主要考查了三角函数的两角和差公式，考查了三角函数求值问题，若是求角，则必须先确定的角的范围再决定角的值．形如y=Asin（ωx+φ）形式的性质问题，一般都是用整体代换的思想，转化为三角函数的性质进行求解．