Question

正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设正△ABC的中心为O₁，连结O₁O、O₁C、O₁D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD=

7

2

．而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．

解答： 解：设正△ABC的中心为O₁，连结O₁O、O₁C、O₁D、OD，
∵O₁是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O₁O⊥平面ABC，结合O₁C?平面ABC，可得O₁O⊥O₁C，
∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O₁O=1，
∴Rt△O₁OC中，O₁C=

R2-O1O2

=

3

．
又∵D为BC的中点，∴Rt△O₁DC中，O₁D=

1

2

O₁C=

3

2

．
∴Rt△OO₁D中，OD=

O1D2+O1O2

=

7

2

．
∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r=

R2-OD2

=

22-( 7 2 )2

=

3

2

，可得截面面积为S=πr²=

9π

4

．
故答案为：

9π

4

点评：本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．