Question

16．存在函数f（x）满足：对于任意x∈R都有（　　）

• A． f（sin2x）=sinx
• B． f（x²+2x）=|x+1|
• C． f（sin2x）=x²+x
• D． f（x²+1）=|x+1|

Answer 1

分析 对于A、C，分别令x=π、令x=$\frac{π}{2}$，推出矛盾，故排除A、C；对于选项B，令t=x²+2x（t≥-1），可得f（x）=$\sqrt{x+1}$（x≥-1），满足题意；对于D，分别令x=1、x=-1，推出矛盾，故排除D，从而得到答案．

解答 解：对于f（sin2x）=sinx，令x=π，则有f（sin2π）=f（0）=sinπ=0，再令x=$\frac{π}{2}$，可得f（sinπ）=f（0）=sin$\frac{π}{2}$=1，
矛盾，故f（sin2x）=sinx 不成立．
由f（x²+2x）=|x+1|=$\sqrt{{（x+1）}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+1}$，令t=x²+2x（t≥-1），则f（t）=$\sqrt{t+1}$，
即f（x）=$\sqrt{x+1}$（x≥-1），满足题意．
对于f（sin2x）=x²+x，令x=π，则有f（sin2π）=f（0）=π²+π，再令x=$\frac{π}{2}$，可得f（sinπ）=f（0）=$\frac{{π}^{2}}{4}$+$\frac{π}{2}$，
矛盾，故f（sin2x）=x²+x不成立．
对于f（x²+1）=|x+1|，令x=1，可得f（2）=2，再令令x=-1，可得f（2）=0，
矛盾，故f（x²+1）=|x+1|不成立．
综上可得，只有B满足条件，
故选：B．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，关键是对题意的理解，属于中档题．