Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N^*．已知a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{4}$，且4a_n+2=4a_n+1-a_n．
（1）求a₄的值；
（2）证明：{a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n}为等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{4}$，且4a_n+2=4a_n+1-a_n．可得4a₄=4a₃-a₂．
（2）由4a_n+2=4a_n+1-a_n，变形为：${a}_{n+2}-\frac{1}{2}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{2}$（a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n），即可证明．
（3）由（2）可得：a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，变形为2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=4，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 （1）解：∵a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{4}$，且4a_n+2=4a_n+1-a_n．
∴4a₄=4a₃-a₂=$\frac{7}{2}$，解得a₄=$\frac{7}{8}$．
（2）证明：由4a_n+2=4a_n+1-a_n，变形为：${a}_{n+2}-\frac{1}{2}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{2}$（a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n），
∴{a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n}为等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{2}$．
（3）解：由（2）可得：a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=4，
∴数列{2ⁿa_n}是等差数列，公差为4．
∴2ⁿa_n=2+4（n-1）=4n-2，
∴a_n=$\frac{4n-2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列与等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．