Question

已知点A、B为双曲线

x2

2

-

y2

25

=1的左右顶点，点P在双曲线上（异于A、B点），直线PA、PB分别交y轴于点C、D，证明：以CD为直径的圆过两定点．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：作图题,证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：作出图象，从而写出A，B，P，C，D等的坐标，要证明以CD为直径的圆过两定点，可转化为证明垂直，从而得证．

解答： 证明：作图如右图，设点P（m，n），
由题意，A（-

2

，0），B（

2

，0）；
则直线PA：

y

n

=

x+ 2

m+ 2

，直线PB：

y

n

=

x- 2

m- 2

，
故令x=0可解得，
C（0，

2 n

m+ 2

），D（0，

- 2 n

m- 2

），
由图可知，M（-5，0），N（5，0），

CM

=（-5，-

2 n

m+ 2

），

DM

=（-5，-

- 2 n

m- 2

），
故

CM

•

DM

=25+

2 n

m+ 2

•

- 2 n

m- 2

=25+

-2n2

m2-2

，
由

m2

2

-

n2

25

=1可得，
-2n²=50-25m²，
故

CM

•

DM

=25+

-2n2

m2-2

=25-25=0，
以CD为直径的圆过点M，
同理可证以CD为直径的圆过点N；
故以CD为直径的圆过两定点．

点评：本题考查了学生的作图能力及双曲线的性质，属于中档题．