Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，其前n和为S_n，且满足S_n+S_n-1=3n²（n≥2）．若对任意的n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据条件求出与a_n的有关的关系式，利用条件a_n＜a_n+1恒成立，建立条件，即可得到结论．

解答： 解：由条件Sn+Sn-1=3n2(n≥2)得Sn+1+Sn=3(n+1)2，
两式相减得a_n+1+a_n=6n+3，
故a_n+2+a_n+1=6n+9，两式再相减得a_n+2-a_n=6，
由n=2得a₁+a₂+a₁=12，a₂=12-2a，
从而a_2n=6n+6-2a；n=3得a₁+a₂+a₃+a₁+a₂=27，a₃=3+2a，从而a_2n+1=6n-3+2a，
由条件得

a＜12-2a 6n+6-2a＜6n-3+2a 6n-3+2a＜6(n+1)+6-2a

，
解之得

9

4

＜a＜

15

4

，
故答案为：(

9

4

，

15

4

)

点评：本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与a_n的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度．