Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E-BD-P的余弦值为

6

3

．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，根据线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）由

PC

=（0，2，-1），又

PE

=λ

PC

且λ∈（0，1），设E（x₀，y₀，z₀），可得

DE

=（0，2λ，1-λ），设平面EBD的法向量为

n

=（a，b，c），令a=-1，则可得平面EBD的一个法向量为

n

=（-1，1，

2λ

λ-1

），而平面PDB的法向量即为

BC

=(-1，1，0)，可得

6

3

=|

n • BC

| n || BC |

|，即可解得λ的值，从而得解．

解答： 解：（Ⅰ）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1），

DB

=（1，1，0）．

BC

=（-1，1，0）
所以

DB

•

BC

=0，所以BC⊥BD，
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩DB=D，
所以BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）因为

PC

=（0，2，-1），又

PE

=λ

PC

且λ∈（0，1），设E（x₀，y₀，z₀），
则（x₀，y₀，z₀-1）=（0，2λ，-λ），
所以，E（0，2λ，1-λ），即

DE

=（0，2λ，1-λ），．…（6分）
设平面EBD的法向量为

n

=（a，b，c），
因为

DB

=（1，1，0），由

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
得

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

，
令a=-1，则可得平面EBD的一个法向量为

n

=（-1，1，

2λ

λ-1

）…（9分）
而平面PDB的法向量即为

BC

=(-1，1，0)…（10分）
所以，

6

3

=|

n • BC

| n || BC |

|=

2

2 × 1+1+( 2λ λ-2 )2

，
解得λ=

1

3

或λ=-1，…（11分）
又由题意知λ∈（0，1），故λ=

1

3

，即点E在靠近点P的三等分处．…（12分）

点评：本题主要考查空间直线和平面，平行和垂直的判定，以及空间二面角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理以及空间向量与二面角的关系，属于中档题．