Question

19．已知函数f（x）=e^|ln2x|-|x-$\frac{1}{4x}$|，若f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂，则下面结论正确的是（　　）

• A． x₁+x₂-1＞0
• B． x₁+x₂-1＜0
• C． x_2-x₁＞0
• D． x_2-x₁＜0

Answer 1

分析 通过分段化简函数解析式，结合f（x₁）=f（x₂），作差可得f（x₂）-f（1-x₁）=f（x₁）-f（1-x₁）．构造函数g（x）=f（x）-f（1-x）（0＜x＜$\frac{1}{2}$）．利用导数可得该函数为定义域上的减函数，得到f（x₂）＞f（1-x₁）．再由f（x）=x+$\frac{1}{4x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，可得x₁+x₂-1＞0．

解答 解：∵f（x）=e^|ln2x|-|x-$\frac{1}{4x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-（x-\frac{1}{4x}），x≥\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2x}+（x-\frac{1}{4x}），0＜x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x+$\frac{1}{4x}$（x＞0），
∵f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂，
∴不妨设x₁＜x₂，则0＜x₁＜$\frac{1}{2}$＜x₂．
故1-x₁＞$\frac{1}{2}$．
∴f（x₂）-f（1-x₁）=f（x₁）-f（1-x₁）．
设g（x）=f（x）-f（1-x）（0＜x＜$\frac{1}{2}$）．
则g（x）=2x+$\frac{1}{4x}+\frac{1}{4（x-1）}-1$．
g′（x）=$2-\frac{1}{4{x}^{2}}-\frac{1}{4（1-x）^{2}}$＜0．
∴g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）内为减函数．
得g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=0，
从而f（x₂）-f（1-x₁）=f（x₁）-f（1-x₁）＞0．
故f（x₂）＞f（1-x₁）．
又f（x）=x+$\frac{1}{4x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
∴x₂＞1-x₁，即x₁+x₂-1＞0．
故选：A．

点评 本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．