Question

已知函数f（x）=

- x 2   +2x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若0＜x₁＜x₂＜1，试比较

f(x1)

x1

与

f(x2)

x2

的大小；
（3）设g（x）=f（x）-kx-2，若函数g（x）有且只有一个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（2）判定函数

f(x)

x

在0＜x＜1上的单调性即可比较

f(x1)

x1

与

f(x2)

x2

的大小；
（3）令g（x）=0，将方程转化为两个函数，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则2x-x²≥0，即x²-2x≤0，
解得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]．
（2）∵

f(x)

x

=

2 x -1

在（0，1）上递减，
∴当0＜x₁＜x₂＜1时，

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

．
（3）由g（x）=f（x）-kx-2=0，则f（x）=kx+2，
设y=kx+2，y=f（x），
则函数y=f（x）的图象是以（1，0）为圆心，半径为1的上半圆，
当直线y=kx+2过点C（2，0）时，此时直线的斜率k=-1，两个图象有两个交点，
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离d=

|k+2|

k2+1

=1，
解得k=-

3

4

，
故函数g（x）有且只有一个零点，则实数k满足k=-

3

4

或k＜-1，
即k∈(-∞，-1)∪{-

3

4

}．

点评：本题主要考查函数的定义域，函数的单调性以及函数零点的应用，综合考查函数的性质．