Question

5．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，$AC=BC=AD={A_1}D=1，BD=\sqrt{3}$．
（1）证明：C₁D⊥BC；
（2）求三棱锥D-BCC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，结合BC⊥CC₁得BC⊥平面A₁C₁CA，于是C₁D⊥BC；
（2）V${\;}_{D-BC{C}_{1}}$=V${\;}_{B-CD{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△CD{C}_{1}}•BC$．

解答 （1）证明：在直角△DAB中，$AB=\sqrt{B{D^2}-D{A^2}}=\sqrt{2}$，
又AC=BC=1，∴AB²=AC²+BC²，∴BC⊥AC，
又BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面A₁C₁CA，∵C₁D?平面A₁C₁CA，
∴C₁D⊥BC．
（2）解：由（1）知BC⊥平面A₁C₁CA，
∴V${\;}_{D-BC{C}_{1}}$=V${\;}_{B-CD{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△CD{C}_{1}}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．