Question

设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在

轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标

记录于下表中：

（1）求、的标准方程；

（2）已知是上的两点，若，求证：为定值；反之，当为此定值时，是否成立？请说明理由．

Answer 1

解：（1）在椭圆上，在抛物线上，

 ：                       

（2）①若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则=     

②若P、Q都不为长轴和短轴的端点，

设

联立方程，解得         

         同理，联立方程，解得；

综合①②可知为定值                           

反之，对于上的任意两点，当时，

设，，易得

；，

由得，

即，亦即，

所以当为定值时，不一定成立