Question

10．已知函数f（x）=（x-1）[x²+（a+2）x+a-b-2]有3个零点
（1）a，b满足的关系式是a²+4b+12＞0且2a-b+1≠0，
（2）若3个零点中其中2个可以作为椭圆和双曲线的离心率，则a²+b²的取值范围是（34，+∞）．

Answer 1

分析 （1）由题意，x²+（a+2）x+a-b-2=0有两个零点，且不为1，可得a，b满足的关系式；
（2）g（x）=x²+（a+2）x+a-b-2，有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，可得不等，而a²+b²表示（a，b）到（0，0）的距离，$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{2a-b+1=0}\end{array}\right.$，可得a=-3，b=-5，利用线性规划的知识，可确定a²+b²的取值范围．

解答 解：（1）由题意，x²+（a+2）x+a-b-2=0有两个零点，且不为1，
∴△=（a+2）²-4（a-b-2）=a²+4b+12＞0且2a-b+1≠0；
（2）g（x）=x²+（a+2）x+a-b-2，有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，
故有g（0）＞0，g（1）＜0，即a-b-2＞0且2a-b+1＜0，
而a²+b²表示（a，b）到（0，0）的距离，$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{2a-b+1=0}\end{array}\right.$，可得a=-3，b=-5，
利用线性规划的知识，可确定a²+b²的取值范围是（34，+∞）．
故答案为：a²+4b+12＞0且2a-b+1≠0；（34，+∞）．

点评 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，简单线性规划，考查计算能力．