Question

11．设等边三角形ABC的边长为6，若$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}$=-18．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，由此能求出$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}$的值．

解答 解：∵等边三角形ABC的边长为6，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$，
∴D为AC中点，∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BE}$，∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}$=（$\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$）（$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$）
=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$
=-36+$\frac{1}{3}×36×cos60°$+$\frac{1}{2}×6×6×cos60°$+$\frac{1}{6}×6×6×cos60°$
=-36+6+9+3
=-18．
故答案为：-18．

点评 本题考查向量数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法和向量数量积公式的合理运用．