Question

已知实数a满足0＜a＜2，直线l₁：ax-2y-2a+4=0和l₂：2x+a²y-2a²-4=0与两坐标轴围成一个四边形．
（1）求证：无论实数a如何变化，直线l₁、l₂必过定点；
（2）求证：无论实数a如何变化，直线l₁都不经过第四象限；
（3）若围成的四边形有外接圆，求实数a的值；
（4）实数a取何值时，所围成的四边形面积最小？

Answer 1

考点：过两条直线交点的直线系方程

专题：直线与圆

分析：（1）由l₁：ax-2y-2a+4=0，得a（x-2）-2y+4=0，由l₂：2x+a²y-2a²-4=0变形，得a²（y-2）+2x-4=0，由此能证明无论实数a如何变化，直线l₁、l₂必过定点（2，2）．
（2）在直线l₁：ax-2y-2a+4=0中，当x=0，y=0时，4-2a＞0恒成立，由此能证明直线l₁不过第四象限．
（3）若围成的四边形有外接圆，则直线l₁：ax-2y-2a+4=0和l₂：2x+a²y-2a²-4=0垂直，由此能求出a=0或a=1．
（4）直线l₁与y轴交点为A（0，2-a），直线l₂与x轴交点为B（a²+2，0），直线l₁也过定点C（2，2），过C点作x轴垂线，垂足为D，S_{四边形AOBC}=S_梯形AODC+S_△BCD，由此能求出当a=

1

2

时，所围成的四边形面积最小，面积的最小值为

15

4

．

解答：（1）证明：由直线l₁：ax-2y-2a+4=0，得a（x-2）-2y+4=0，
∴当x=2时，y=2，即直线l₁过定点（2，2），
由直线l₂：2x+a²y-2a²-4=0变形，得a²（y-2）+2x-4=0，
∴当y=2时，x=2．即直线l₂过定点（2，2），
∴无论实数a如何变化，直线l₁、l₂必过定点（2，2）．
（2）证明：在直线l₁：ax-2y-2a+4=0中，
当x=0，y=0时，
∵0＜a＜2，
∴4-2a＞0恒成立，
∴直线l₁不过第四象限．
（3）解：由图形知∠AOB=90°，
∴若围成的四边形有外接圆，则直线l₁：ax-2y-2a+4=0和l₂：2x+a²y-2a²-4=0垂直，
∴2a-2a²=0，
解得a=0或a=1．
（4）解：直线l₁与y轴交点为A（0，2-a），直线l₂与x轴交点为B（a²+2，0），如图，
由直线l₁：ax-2y-2a+4=0知，直线l₁也过定点C（2，2），
过C点作x轴垂线，垂足为D，于是
S_{四边形AOBC}=S_梯形AODC+S_△BCD
=

1

2

a²•2+

1

2

（2-a+2）•2
=a²-a+4，
∴当a=

1

2

时，S_{四边形AOBC}最小．
故当a=

1

2

时，所围成的四边形面积最小，面积的最小值为

15

4

．

点评：本题考查无论实数a如何变化，直线l₁、l₂必过定点的证明，考查无论实数a如何变化，直线l₁都不经过第四象限的证明，考查围成的四边形有外接圆，实数a的值的求法，考查实数a取何值时，所围成的四边形面积最小的求法，是中档题，解题时要注意直线方程与圆的性质的合理运用．