Question

命题p：“函数f（x）=2^x+

a

2x

在区间[4，+∞）上递增”；命题Q：“g（x）=log₂x-

a

log2x

在区间[4，+∞）上递增”．若命题p与命题Q有且仅有一个真，求实数a的集合．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对于命题P：当a≤0时，函数f（x）=2^x+

a

2x

在区间[4，+∞）上递增；当a＞0时，由2x=

a

2x

?2x=

a

，

a

≤24，?a≤256．即可得出a的取值范围集合M；对于命题Q：当a≥0时，g（x）在区间[4，+∞）上递增；当a＜0时，由log2x=-

a

log2x

?log2x=

-a

，

-a

≤log24?a≥-4．即可得出a的取值范围集合N．若命题p与命题Q有且仅有一个真，可知：满足题意的a的集合为C_R（M∩N）．

解答： 解：对于命题P：当a≤0时，函数f（x）=2^x+

a

2x

在区间[4，+∞）上递增；
当a＞0时，由2x=

a

2x

?2x=

a

，运用三角不等式可知，

a

≤24，?a≤256．
综上可得：当a∈（-∞，256]=M时，函数f（x）=2^x+

a

2x

在区间[4，+∞）上递增；
对于命题Q：当a≥0时，g（x）在区间[4，+∞）上递增；
当a＜0时，由log2x=-

a

log2x

?log2x=

-a

，运用三角不等式得：

-a

≤log24?a≥-4．
综上可得：a∈[-4，+∞）=N时，g（x）=log₂x-

a

log2x

在区间[4，+∞）上递增．
若命题p与命题Q有且仅有一个真，且M∪N=R
因此满足题意的a的集合为C_R（M∩N）=（-∞，-4）∪（256，+∞）．

点评：本题考查了指数函数和对数函数类型的函数的单调性、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题．