Question

【题目】已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

求出直线关于直线对称的直线的方程，然后将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数的取值范围.

直线关于直线对称的直线的方程为，即，对应的函数为.

所以，直线与函数的图象有两个交点.

对于一次函数，当时，，且.

则直线与函数的图象交点的横坐标不可能为.

当时，令，可得，

此时，令.

当时，，当时，；当时，.

此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

函数的极小值为；

当时，，当时，；当时，.

此时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

函数的极大值为.

作出函数和函数的图象如下图所示：

由图象可知，当或时，即当或时，直线与函数的图象有两个交点.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.