Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是（2，0），且双曲线的离心率为2．
（1）求双曲线方程
（2）若倾斜角为45°的直线y=kx-1和双曲线相交于A，B两点，求AB长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：c=2．又$\frac{c}{a}$=2，c²=a²+b²，联立解出即可得出双曲线方程
（2）直线方程与双曲线方程联立，利用弦长公式，即可求AB长．

解答 解：（1）∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是（2，0），
∴c=2．
又$\frac{c}{a}$=2，c²=a²+b²，解得a=1，b=$\sqrt{3}$．
∴该双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）联立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得x²+x-2=0，
∴x=1或-2，
∴|AB|=$\sqrt{2}•|1+2|$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．