Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，丨φ丨＜

π

2

的图象与y 轴交点的纵坐标为1，在相邻的两点（x₀，2），（x₀+

3

2

，-2）（x₀＞0）上f（x）分别取得最大值和最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=af（x）+b的最大和最小值分别为6和2，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）依题意，得

T

2

=x0+

3

2

-x0，解得T，再利用T=

2π

ω

，解得ω．又最大值为2，最小值为-2，可得A=2，于是y=2sin(

2π

3

x+φ)．根据图象经过（0，1），可得2sinφ=1，又|φ|＜

π

2

，可得φ．
（2）利用 f(x)=2sin(

2π

3

x+

π

6

)．和-2≤f（x）≤2，即可得出

-2a+b=6 2a+b=2

或

-2a+b=2 2a+b=6

解出即可．

解答：解：（1）依题意，得

T

2

=x0+

3

2

-x0，解得T=3=

2π

ω

，解得ω=

2π

3

．
∵f（x）的最大值为2，最小值为-2，∴A=2，
∴y=2sin(

2π

3

x+φ)．
∵图象经过（0，1），
∴2sinφ=1，即sinφ=

1

2

．
又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

，∴f(x)=2sin(

2π

3

x+

π

6

)．
（2）∵f(x)=2sin(

2π

3

x+

π

6

)．
∴-2≤f（x）≤2，
∴

-2a+b=6 2a+b=2

或

-2a+b=2 2a+b=6

解得，

a=-1 b=4

或

a=1 b=4

点评：熟练掌握三角函数的图象与性质是解题的关键．