已知在函数f(x)=-x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1.
(1)若函数f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,若f(x)=k在区间[-3,1]上有两个不同的解,求实数k的取值范围;
(3)函数f(x)在区间[-2,0]上单调递增,求实数b的取值范围.
【答案】
分析:(1)f′(x)=-3x
2+2ax+b,由题意可得
,解得即可.
(2)利用f′(x)=0,解得
或-2.在求出f(-3),f(-2),
,f(1),画出图象得出k的取值范围.
(3)由f′(1)=-3,得2a=-b.由函数f(x)在区间[-2,0]上单调递增,可得f′(x)=-3x
2-bx+b≥0恒成立,转化为
在区间[-2,0]上恒成立.令
,利用导数求出其最大值.
解答:解:(1)f′(x)=-3x
2+2ax+b,由题意可得
,解得
,
经验证满足条件,
∴f(x)=-x
3-2x
2+4x-3.
(2)∵f′(x)=-3x
2-4x+4=-(3x-2)(x+2)=0,解得
或-2.
∵f(-3)=-6,f(-2)=-11,
=
,f(1)=-2.
画出图象可知:当-11<k≤-6或
时,f(x)=k在区间[-3,1]上有两个不同的解;
(3)由f′(1)=-3,得2a=-b.
∵函数f(x)在区间[-2,0]上单调递增,∴f′(x)=-3x
2-bx+b≥0恒成立,
∴
在区间[-2,0]上恒成立.
令
,则
≥0,
∴g(x)在区间[-2,0]上单调递增,得g(x)
max=0.
∴b≥0.
点评:熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、数形结合等是解题的关键.