Question

某几何体ABC-A₁B₁C₁的三视图和直观图如图所示．
（Ⅰ）求证：平面AB₁C₁⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）若E是线段AB₁上的一点，且满足VE-AA1C1=

1

9

VABC-A1B1C1，求AE的长．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由三视图可知，几何体ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，由已知条件推导出B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，由此能证明平面AB₁C₁⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）过点E作EF∥B₁C₁交AC₁于F，EF为三棱锥E-AA₁C的高，由此利用等积法能求出AE的长．

解答： （Ⅰ）证明：由三视图可知，几何体ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，
侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥A₁C₁，且AA₁=AC=4，BC=2．…（2分）
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥B₁C₁，…（3分）
∵B₁C₁⊥A₁C₁，AA₁∩A₁C₁=A₁，∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁．…（5分）
又∵B₁C₁?平面AB₁C₁，∴平面AB₁C₁⊥平面AA₁C₁C．…（6分）
（Ⅱ）解：过点E作EF∥B₁C₁交AC₁于F，
由（Ⅰ）知，EF⊥平面A₁ACC₁，即EF为三棱锥E-AA₁C的高．…（7分）
∵VE-AA1C1=

1

9

VABC-A1B1C1，∴

1

3

S△AA1C1•EF=

1

9

S△ABC•AA1，…（8分）
∴

1

3

×(

1

2

×4×4)×EF=

1

9

×(

1

2

×2×4)，解得EF=

2

3

．…（9分）
在Rt△ABC中，AB=

42+22

=2

5

，
在Rt△ABB₁中，AB1=

(2 5 )2+42

=6，…（10分）
由

AE

AB1

=

EF

B1C1

，…（11分）
得AE=

AB1•EF

B1C1

=

6× 2 3

2

=2．…（12分）

点评：本题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．