Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞O，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），其部分图象如图5所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知横坐标分别为-1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，求

.

NM

与

.

NP

所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，根据图象经过的点的坐标求出φ的值，从而求得函数f（x）的解析式．
（2）先求得M、N、P的坐标，可得

MN

、

NP

 的坐标，再根据 cos∠MNP=

MN • NP

| MN |•| NP |

，计算求得结果．

解答：解：（1）由图可知，A=1，…（1分）
最小正周期 T=2[3-（-1）]=8，…（2分）
所以，T=

2π

ω

=8，∴ω=

π

4

．   …（3分）
由图象可知 f（1）=sin（

π

4

+φ）=1，…（4分）
又∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

4

． …（6分）
∴f（x）=sin

π

4

（x+1）． …（7分）
（2）因为 f（-1）=0，f（1）=1，f（5）=-1，…（9分）
所以，∴M（-1，0），N （1，1），P （5，-1），

MN

=（-2，-1），

NP

=（4，-2），…（11分）

MN

•

NP

=-6，…（12分）
|

MN

|=

5

，|

NP

|=2

5

，…（13分）
则 cos∠MNP=

MN • NP

| MN |•| NP |

=

-6

5 ×2 5

=-

3

5

．…（14分）

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．